Посперечався, що зможу знайти площу багатокутника за одну дію – розповідаю метод

Згадав випадок, як я посперечався з сином, що зможу знайти площу багатокутника за 30 секунд однією дією, поки він обчислюватиме її багатьма діями, як навчали в школі.

Виграв!

А оскільки згадав про це, хочу розповісти і вам, як, просто використовуючи єдину формулу, можна точно обчислити площу багатокутника, і немає потреби розкладати фігуру на кілька найпростіших.

Проте для таких багатокутників є одна важлива умова: кожна вершина повинна мати цілочисельні координати, тобто розташовуватися саме у вузлі сітки.

Сітка — клітинкова поверхня, на якій зображена фігура. Вузол — перетин ліній сітки.

Сітка може мати будь-яку одиницю вимірювання, адже площа вимірюється у квадратних одиницях обраної міри. Якщо клітинка 1х1 см, то це 1 кв. см, 1х1 м — це 1 кв. м і т.д.

Отже, існує дуже проста формула, яка пов'язує площу будь-якого багатокутника з кількістю вузлів сітки, що розташовані на відрізках фігури та всередині самої фігури. Формулу вивів австрійський математик Георг Александр Пік у 1899 р., на честь якого її й називають формулою (теоремою) Піка:

S = Г/2 + В — 1

де:

• S — площа багатокутника;
• В — кількість вузлів усередині фігури (шт.);
• Г — кількість вузлів, розташованих у вершинах і на відрізках фігури (шт.).

Щоб усе стало зрозуміло, наведу приклад складного багатокутника. Нам потрібно знайти площу фігури, поданої нижче:

Лічимо вузли, розташовані всередині, на вершинах і на відрізках фігури.

У формули Піка є суворе правило: у ній враховуються лише вузли з цілими координатами — тобто ті, що лежать точно на перетинах ліній сітки.

Маємо: Г=13, В=30. Тепер достатньо підставити значення у формулу й отримаємо: S=Г/2 + В — 1 = 13/2 + 30 -1 = 35,5 кв. од.

Готово! Площа становить 35,5 клітинок. Ви можете все перевірити і будете приємно здивовані!

Переваги в тому, що така формула легко запам'ятовується і проста у застосуванні! Недолік, звичайно, теж є, як я вже зазначав вище — формула не дає точного результату, якщо хоча б одна з вершин багатокутника лежить поза вузлом сітки (не має цілочисельних координат).

Мій син вже успішно застосовує цю формулу на заняттях у школі і швидко знаходить відповіді, хоча деякі вчителі не схвалюють такого підходу й усе ж схиляють дотримуватися класичної схеми: розділити багатокутник на елементарні фігури, обчислити їхні площі, користуючись стандартними формулами, і, додавши їх, отримати результат.

Проте все ж гадаю, для швидких розрахунків формула корисна. Обов'язково розкажіть дітям!

Дуже сподіваюся, що стаття Вам сподобалася!