Вчені Олександр Полянський (МФТІ, Росія) і Цзилінь Цзян (Техніон, Ізраїль) довели гіпотезу про покритті сфери зонами, сформульовану угорським математиком Ласло Фейеш Тотом ще в 1973 році: «Якщо кілька зон покриває одиничну сферу, то їх сумарна ширина принаймні пі». Результат важливий для розвитку дискретної геометрії і дає можливість постановки нових завдань. Доказ було опубліковано в журналі Geometric and Functional Analysis.
Задача, розв'язана Тарским: повне покриття кола з одиничним радіусом смужками так, що їх сумарна ширина не менше 2 (діаметр кола). Кожна з п'яти смужок має свою ширину і позначена унікальним кольором.
Дискретна геометрія вивчає комбінаторні властивості точок, прямих, кіл, багатокутників і інших геометричних об'єктів. Наприклад, вона дозволяє відповісти на питання: яке найбільше число куль однакового розміру можна розмістити навколо одного такого ж кулі, як найбільш щільно замостити площину однаковими колами або простір однаковими кулями і т. д. Результати деяких таких завдань зараз застосовуються на практиці: так, задача про щільній упаковці дозволяє оптимізувати кодування і виправлення помилок при передачі інформації. Доказ теореми про чотирьох фарбах, яка підтверджує, що всяку розташовану на сфері карту можна розфарбувати не більше ніж чотирма різними кольорами так, щоб сусідні країни не були однакового кольору, наштовхнув математиків на розробку значущої частини понять теорії графів, без якої неможливо уявити сьогодні багато розробки в хімії, біології, інформатики, будь-які логістичні системи і т.?д.
Жовтим кольором на поверхні сфери позначена одна зона ширини ?
Гіпотеза Ласло Фейеш Тота тісно пов'язана з іншими завданнями дискретної геометрії про покритті смужками, вирішеними в XX столітті. Спочатку ставилося завдання про покритті кола смужками, укладеними між паралельними прямими, більш відома як задача про дощечках. Математик Тарський витончено і просто довів, що сумарна ширина цих смужок-дощечок не перевершує діаметр кола, незалежно від їх кількості: тобто краще, ніж однієї дощечкою, ширина якої — діаметр кола, його покрити не можна. Бангом була вирішена задача про покриття смужками довільного опуклого тіла, а саме було доведено, що якщо кілька смужок покриває опукле тіло, то їх сумарна ширина принаймні ширина даного тіла, т.?тобто мінімальна ширина однієї смужки, що покриває тіло.
Повне покриття сфери зонами. Кожна з п'яти зон має свою ширину і позначена унікальним кольором
Завдання, над якою працювали автори публікації, принципово відрізняється від попередніх: в ній потрібно дослідити покриття сфери з одиничним радіусом особливим чином побудованими зонами. А саме: кожна зона поставлена у відповідність певної тривимірної смужці-дощечці (всього того, що укладена між двома паралельними площинами, розташованими симетрично відносно центру сфери) і є її перетином зі сферою. Можна ввести і інше визначення, вже не асоціюючи зони з смужками: зоною ширини ? на поверхні сфери з одиничним радіусом називається безліч точок, які знаходяться на відстані не більше ?/2 від великої окружності (екватора) в геодезичної метриці (т.?тобто відстань між двома точками дорівнює найменшій довжині дуги, їх з'єднує). Математикам необхідно було знайти мінімальну сумарну ширину декількох таких зон, що покривають одиничну сферу. Основна відмінність від попередніх у вимірюванні ширини: у випадку звичайних ширина смужок — це евклідова відстань між паралельними прямими або паралельними площинами, а цьому випадку — це довжина дуги.
При доказі автори були натхненні ідеєю Банга, який використовував для вирішення задачі про покриття тіла смужками побудова спеціального кінцевого безлічі точок усередині тіла, серед яких одна не покрита смужками. Математики, як і Банг, йшли в якомусь сенсі від протилежного: припускали, що сума ширин зон, повністю покривають сферу, менше ?, і хотіли отримати протиріччя: знайти точку, яка лежить на сфері, але не покрита зонами.
Гіпотеза Ласло Фейеш Тота. Покриття сфери з одиничним радіусом зонами однакової ширини. Випадок мінімальної сумарної ширини зон дорівнює ?. Кожна зона позначена унікальним кольором.
Автори показали, що можна побудувати такий набір точок в тривимірному просторі, щоб принаймні одна точка не була покрита смужками, що утворюють зони. Якщо всі ці точки будуть знаходитися всередині сфери, то буде нескладно побудувати одну точку на ній, не покриту смужками, а значить, і зонами. Якщо ж якась з точок множини опиниться за межами сфери, то в цьому випадку вдається замінити кілька зон однією великою зоною з шириною, що дорівнює сумі всіх ширін цих зон. Таким чином, вдається у вихідній задачі зменшити число зон, але при цьому не змінити їх сумарну ширину, тобто в якийсь момент вийде знайти точку на сфері, не покриту зонами. Це суперечить тому, що сума ширин зон менше ?, і доводить гіпотезу Ласло Фейеш Тота.
Задача вирішувалася в n-мірному просторі, але, за словами вчених, ця постановка і доказ нічим не відрізняється від тривимірного випадку.
Олександр Полянський, співробітник кафедри дискретної математики МФТІ, один з авторів роботи: «Завдання Ласло Фейеш Тота привертала увагу математиків, які займаються дискретної геометрії, ось вже більше 40 років. У цій задачі виявилося витончене рішення, і нам пощастило його знайти. Завдання Ласло Фейеш Тота навела нас на думку про інший, більш сильної гіпотезі про покритті сфери зміщеними зонами, отриманими перетином одиничної сфери з тривимірними смужками-дощечками, не обов'язково симетричними відносно центру».
